Una empresa de productos de limpieza tiene un nuevo producto, del cual se conoce el costo de producción unitario es de 4 soles, con un costo fijo de 4500 soles. El precio de venta del producto es de 8.5 soles. Además, se sabe que el nivel máximo de producción y venta mensual es de 3000 unidades. a) Determinar la función utilidad con su respectivo dominio. b) Determinar la cantidad mínima para tener utilidades.
Para resolver el problema, primero definimos algunas variables y luego determinamos la función de utilidad.
Definiciones:
Función de ingresos (R): [ R(x) = P \cdot x = 8.5x ]
Función de costos (C): [ C(x) = CF + C \cdot x = 4500 + 4x ]
Función de utilidad (U): La utilidad se define como la diferencia entre los ingresos y los costos: [ U(x) = R(x) - C(x) = 8.5x - (4500 + 4x) ] Simplificando: [ U(x) = 8.5x - 4500 - 4x = 4.5x - 4500 ]
Dominio: Dado que la empresa tiene un nivel máximo de producción y venta mensual de 3000 unidades, el dominio de la función de utilidad es: [ x \in [0, 3000] ]
Para encontrar la cantidad mínima de unidades que se deben vender para tener utilidades, debemos encontrar el valor de (x) para el cual la utilidad es igual a cero: [ U(x) = 0 ] Sustituyendo la función de utilidad: [ 4.5x - 4500 = 0 ] Resolviendo para (x): [ 4.5x = 4500 ] [ x = \frac{4500}{4.5} = 1000 ]