По горизонтально расположенным шероховатым рельсам с пренебрежимо малым сопротивлением могут скользить два одинаковых стержня массой m = 100 г и сопротивлением R = 0,1 Ом. Расстояние между рельсами l = 10 см, а коэффициент трения μ = 0,1. Рельсы со стержнями находятся в вертикальном однородном магнитном поле с B = 1 Тл. Под действием горизонтальной силы, действующей на первый стержень вдоль рельс, оба движутся поступательно равномерно с разными скоростями. Какова скорость движения первого стержня относительно второго? Самоиндукцией контура пренебречь.
Для решения задачи необходимо рассмотреть, как движутся стержни под действием магнитного поля и силы, а также как возникает ЭДС индукции.
Сила Лоренца: Когда стержни движутся в магнитном поле, на них действует сила Лоренца, которая определяется как: [ \mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} ] где ( q ) — заряд, ( \mathbf{v} ) — скорость стержня, ( \mathbf{B} ) — магнитное поле.
Индукция и ЭДС: При движении стержня в магнитном поле возникает ЭДС индукции, которая равна: [ \mathcal{E} = B l v ] где ( l ) — длина стержня (в данном случае расстояние между рельсами), ( v ) — скорость стержня.
Ток в цепи: ЭДС индукции создает ток в цепи, который можно найти по закону Ома: [ I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{B l v}{R} ]
Сила, действующая на стержень: Эта сила, действующая на стержень, будет равна: [ F = I \cdot l \cdot B = \frac{B l v}{R} \cdot l \cdot B = \frac{B^2 l^2 v}{R} ]
Сила трения: Сила трения, действующая на стержень, равна: [ F_{\text{тр}} = \mu m g ] где ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 , \text{м/с}^2 )).
Уравнение движения: Для равномерного движения стержней, силы должны уравновешиваться: [ F_{\text{тр}} = F ] Подставим выражения: [ \mu m g = \frac{B^2 l^2 v}{R} ]
Решение уравнения: Подставим известные значения:
Подставим в уравнение: [ 0.1 \cdot 0.1 \cdot 9.81 = \frac{1^2 \cdot (0.1)^2 \cdot v}{0.1} ] [ 0.0981 = \frac{0.01 v}{0.1} ] [ 0.0981 = 0.1 v ] [ v = \frac{0.0981}{0.1} = 0.981 , \text{м/с} ]
Скорость первого стержня относительно второго: Поскольку оба стержня движутся с разными скоростями, скорость первого стержня относительно второго будет равна разности их скоростей. Если обозначить скорость второго стержня как ( v_2 ), то: [ v_1 - v_2 = v ] Если предположить, что второй стержень движется с меньшей скоростью, то скорость первого стержня относительно второго будет равна ( v ).
Таким образом, скорость движения первого стержня относительно второго составляет ( 0.981 , \text{м/с