Cálculo de órbita y energía de satélite en Venus

• La velocidad angular con la que un satélite describe una órbita circular en torno al planeta Venus es ω1= 1,45· 10-4 rad/s y su momento angular respecto al centro de la órbita es L1 = 2,2· 1012 kg· m2 ·s -1 . a) Determine el radio r1 de la órbita del satélite y su masa. b) ¿Qué energía sería preciso invertir para cambiar a otra órbita circular con velocidad angular ω2 = 10-4 rad/s? Datos: Constante de Gravitación Universal G = 6,67· 10-11N·m2 ·kg-2 Masa de Venus Mv =4,87· l024 kg

Para resolver el problema, vamos a utilizar las fórmulas relacionadas con el movimiento circular y la gravitación.

a) Determinación del radio ( r_1 ) de la órbita y la masa del satélite

1. Cálculo del radio ( r_1 ):

El momento angular ( L ) de un satélite en órbita circular se puede expresar como:

[ L = m \cdot r^2 \cdot \omega ]

donde:

• ( m ) es la masa del satélite,
• ( r ) es el radio de la órbita,
• ( \omega ) es la velocidad angular.

Despejamos ( r ):

[ r^2 = \frac{L}{m \cdot \omega} ]

2. Fuerza centrípeta y fuerza gravitacional:

La fuerza centrípeta necesaria para mantener al satélite en órbita es proporcionada por la fuerza gravitacional:

[ F_c = m \cdot \frac{v^2}{r} = m \cdot r \cdot \omega^2 ]

La fuerza gravitacional es:

[ F_g = \frac{G \cdot M_v \cdot m}{r^2} ]

Igualando ambas fuerzas:

[ m \cdot r \cdot \omega^2 = \frac{G \cdot M_v \cdot m}{r^2} ]

Cancelamos ( m ) (asumiendo que ( m \neq 0 )):

[ r \cdot \omega^2 = \frac{G \cdot M_v}{r^2} ]

Multiplicamos ambos lados por ( r^2 ):

[ r^3 \cdot \omega^2 = G \cdot M_v ]

Despejamos ( r ):

[ r = \left( \frac{G \cdot M_v}{\omega^2} \right)^{1/3} ]

Sustituyendo los valores:

• ( G = 6.67 \times 10^{-11} , \text{N m}^2/\text{kg}^2 )
• ( M_v = 4.87 \times 10^{24} , \text{kg} )
• ( \omega_1 = 1.45 \times 10^{-4} , \text{rad/s} )

Calculamos ( r_1 ):

[ r_1 = \left( \frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 4.87 \times 10^{24}}{(1.45 \times 10^{-4})^2} \right)^{1/3} ]

Calculamos el valor:

[ r_1 = \left( \frac{3.24769 \times 10^{14}}{2.1025 \times 10^{-8}} \right)^{1/3} ]

[ r_1 = \left( 1.544 \times 10^{22} \right)^{1/3} \approx 2.48 \times 10^7 , \text{m} ]

3. Cálculo de la masa ( m ):

Usamos la relación del momento angular:

[ L_1 = m \cdot r_1^2 \cdot \omega_1 ]

Despejamos ( m ):

[ m = \frac{L_1}{r_1^2 \cdot \omega_1} ]

Sustituyendo los valores:

[ m = \frac{2.2 \times 10^{12}}{(2.48 \times 10^7)^2 \cdot (1.45 \times 10^{-4})} ]

Calculamos ( m ):

[ m = \frac{2.2 \times 10^{12}}{6.1504 \times 10^{14} \cdot 1.45 \times 10^{-4}} \approx \frac{2.2 \times 10^{12}}{8.927 \times 10^{10}} \approx 24.7 , \text{kg} ]

b) Energía necesaria para cambiar a otra órbita circular con velocidad angular ( \omega_2 = 10^{-4} , \text{rad/s} )

1. Cálculo del nuevo radio ( r_2 ):

Usamos la misma fórmula que antes:

[ r_2 = \left( \frac{G \cdot M_v}{\omega_2^2} \right)^{1/3} ]

Sustituyendo ( \omega_2 ):

[ r_2 = \left( \frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 4.87 \times 10^{24}}{(10^{-4})^2} \right)^{1/3} ]

Calculamos:

[ r_2 = \left( \frac{3.24769 \times 10^{14}}{1 \times 10^{-8}} \right)^{1/3} = \left( 3.24769 \times 10^{22} \right)^{1/3} \approx 3.2 \times 10^7 , \text{m} ]

2. Cálculo de la energía en la órbita:

La energía total en una órbita circular es:

[ E = -\frac{G \cdot M_v \cdot m}{2r} ]

Calculamos la energía en la órbita inicial ( E_1 ) y en la nueva órbita ( E_2 ):

[ E_1 = -\frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 4.87 \times 10^{24} \cdot 24.7}{2 \cdot 2.48 \times 10^7} ]

[ E_2 = -\frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 4.87 \times 10^{24} \cdot 24.7}{2 \cdot 3.2 \times 10^7} ]

Calculamos ( E_1 ) y ( E_2 ):

[ E_1 \approx -\frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 4.87 \times 10^{24} \cdot 24.7}{4.96 \times 10^7} \approx -1.6 \times 10^{12} , \text{J} ]

[ E_2 \approx -\frac{6.67 \times 10^{-11} \cdot 4.87 \times 10^{24} \cdot 24.7}{6.4 \times 10^7} \approx -1.2 \times 10^{12} , \text{J} ]

3. Energía necesaria para el cambio:

La energía necesaria para cambiar de órbita es:

[ \Delta E = E_2 - E_1 ]

Calculamos:

[ \Delta E \approx -1.2 \times 10^{12} - (-1.6 \times 10^{12}) = 0.4 \times 10^{12} , \text{J} = 4 \times 10^{11} , \text{J} ]

Resumen de resultados:

• Radio de la órbita ( r_1 ): ( \approx 2.48 \times 10^7 , \text{m} )
• Masa del satélite ( m ): ( \approx 24.7 , \text{kg} )
• Energía necesaria para cambiar a la nueva órbita: ( \approx 4 \times 10^{11} , \text