Cálculo del coeficiente de expansión térmica del tubo

Con una regla de acero y coeficiente de expansión térmica lineal de
15 × 10−6°𝐶−1 se mide que la longitud de un tubo es de 80.0 𝑐𝑚 a temperatura de 25°𝐶. Tanto la regla como el tubo se calientan en un horno a una temperatura de 425°𝐶, después de que ambos se expanden por completo, con la misma regla se mide que el tubo tiene una nueva longitud de 80.3 𝑐𝑚. Determine el coeficiente de expansión térmica lineal del tubo.

Para resolver este problema, utilizaremos la fórmula de expansión térmica lineal:

[ \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T ]

donde:

• (\Delta L) es el cambio en longitud,
• (L_0) es la longitud inicial,
• (\alpha) es el coeficiente de expansión térmica lineal,
• (\Delta T) es el cambio de temperatura.

Paso 1: Calcular el cambio de temperatura

La temperatura inicial es (T_1 = 25 , °C) y la temperatura final es (T_2 = 425 , °C). Por lo tanto, el cambio de temperatura es:

[ \Delta T = T_2 - T_1 = 425 , °C - 25 , °C = 400 , °C ]

Paso 2: Calcular la expansión de la regla

La regla de acero tiene un coeficiente de expansión térmica lineal (\alpha_{\text{regla}} = 15 \times 10^{-6} , °C^{-1}) y una longitud inicial de (L_{0,\text{regla}} = 80.0 , cm). Usamos la fórmula de expansión para calcular el cambio de longitud de la regla:

[ \Delta L_{\text{regla}} = L_{0,\text{regla}} \cdot \alpha_{\text{regla}} \cdot \Delta T ]

Sustituyendo los valores:

[ \Delta L_{\text{regla}} = 80.0 , cm \cdot (15 \times 10^{-6} , °C^{-1}) \cdot (400 , °C) ]

Calculamos:

[ \Delta L_{\text{regla}} = 80.0 \cdot 15 \cdot 10^{-6} \cdot 400 ] [ \Delta L_{\text{regla}} = 80.0 \cdot 15 \cdot 0.0004 ] [ \Delta L_{\text{regla}} = 80.0 \cdot 0.006 = 0.48 , cm ]

La nueva longitud de la regla después de calentarse es:

[ L_{\text{regla, nueva}} = L_{0,\text{regla}} + \Delta L_{\text{regla}} = 80.0 , cm + 0.48 , cm = 80.48 , cm ]

Paso 3: Calcular el cambio de longitud del tubo

La longitud medida del tubo a 425 °C es (L_{\text{tubo, nueva}} = 80.3 , cm). El cambio en longitud del tubo es:

[ \Delta L_{\text{tubo}} = L_{\text{tubo, nueva}} - L_{0,\text{tubo}} = 80.3 , cm - 80.0 , cm = 0.3 , cm ]

Paso 4: Calcular el coeficiente de expansión térmica del tubo

Sabemos que el cambio de longitud del tubo también se puede expresar como:

[ \Delta L_{\text{tubo}} = L_{0,\text{tubo}} \cdot \alpha_{\text{tubo}} \cdot \Delta T ]

Sustituyendo los valores:

[ 0.3 , cm = 80.0 , cm \cdot \alpha_{\text{tubo}} \cdot 400 , °C ]

Despejamos (\alpha_{\text{tubo}}):

[ \alpha_{\text{tubo}} = \frac{0.3 , cm}{80.0 , cm \cdot 400 , °C} ]

Calculamos:

[ \alpha_{\text{tubo}} = \frac{0.3}{32000} = 9.375 \times 10^{-6} , °C^{-1} ]

Resultado

El coeficiente de expansión térmica lineal del tubo es:

[ \alpha_{\text{tubo}} \approx 9.38 \times 10^{-6} , °C^{-1} ]