Con una regla de acero y coeficiente de expansión térmica lineal de
15 × 10−6°𝐶−1 se mide que la longitud de un tubo es de 80.0 𝑐𝑚 a temperatura de
25°𝐶. Tanto la regla como el tubo se calientan en un horno a una temperatura de
425°𝐶, después de que ambos se expanden por completo, con la misma regla se
mide que el tubo tiene una nueva longitud de 80.3 𝑐𝑚. Determine el coeficiente
de expansión térmica lineal del tubo.
Para resolver este problema, primero debemos entender cómo se comportan los materiales al calentarse. Tanto la regla de acero como el tubo se expanden al aumentar la temperatura, y podemos usar la fórmula de expansión térmica lineal:
[ \Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T ]
donde:
La temperatura inicial es (T_1 = 25°C) y la temperatura final es (T_2 = 425°C). Por lo tanto, el cambio de temperatura es:
[ \Delta T = T_2 - T_1 = 425°C - 25°C = 400°C ]
La longitud inicial de la regla es (L_{0, \text{regla}} = 80.0 , \text{cm}) y su coeficiente de expansión térmica es (\alpha_{\text{regla}} = 15 \times 10^{-6} , °C^{-1}).
Usamos la fórmula de expansión para la regla:
[ \Delta L_{\text{regla}} = L_{0, \text{regla}} \cdot \alpha_{\text{regla}} \cdot \Delta T ]
Sustituyendo los valores:
[ \Delta L_{\text{regla}} = 80.0 , \text{cm} \cdot (15 \times 10^{-6} , °C^{-1}) \cdot (400 , °C) ]
Calculamos:
[ \Delta L_{\text{regla}} = 80.0 \cdot 15 \cdot 10^{-6} \cdot 400 ] [ \Delta L_{\text{regla}} = 80.0 \cdot 15 \cdot 0.0004 ] [ \Delta L_{\text{regla}} = 80.0 \cdot 0.006 = 0.48 , \text{cm} ]
La nueva longitud de la regla después de calentarse es:
[ L_{\text{regla, final}} = L_{0, \text{regla}} + \Delta L_{\text{regla}} = 80.0 , \text{cm} + 0.48 , \text{cm} = 80.48 , \text{cm} ]
La nueva longitud del tubo después de calentarse es (L_{\text{tubo, final}} = 80.3 , \text{cm}). El cambio en longitud del tubo es:
[ \Delta L_{\text{tubo}} = L_{\text{tubo, final}} - L_{0, \text{tubo}} = 80.3 , \text{cm} - 80.0 , \text{cm} = 0.3 , \text{cm} ]
Ahora podemos usar la fórmula de expansión térmica para el tubo. Sabemos que la longitud inicial del tubo es (L_{0, \text{tubo}} = 80.0 , \text{cm}) y el cambio en longitud es (\Delta L_{\text{tubo}} = 0.3 , \text{cm}):
[ \Delta L_{\text{tubo}} = L_{0, \text{tubo}} \cdot \alpha_{\text{tubo}} \cdot \Delta T ]
Sustituyendo los valores:
[ 0.3 , \text{cm} = 80.0 , \text{cm} \cdot \alpha_{\text{tubo}} \cdot 400 , °C ]
Despejamos (\alpha_{\text{tubo}}):
[ \alpha_{\text{tubo}} = \frac{0.3 , \text{cm}}{80.0 , \text{cm} \cdot 400 , °C} ]
Calculamos:
[ \alpha_{\text{tubo}} = \frac{0.3}{32000} = 9.375 \times 10^{-6} , °C^{-1} ]
El coeficiente de expansión térmica lineal del tubo es:
[ \alpha_{\text{tubo}} \approx 9.38 \times 10^{-6} , °C^{-1} ]