Trouvons toutes les applications ( f: [0, 1] \to \mathbb{R} ) continues telles que : [ \int_{0}^{1} f(x) , dx = \frac{1}{3} + \int_{0}^{1} f(x^2)^2 , dx . ]
{xPour résoudre l'équation intégrale donnée :
[ \int_{0}^{1} f(x) , dx = }} \frac{1}{3} + \int, dx = a^2 \int_{0}^{1}{0}^{1} f(x^2)^2 , x^{3/ dx, \2} , dx + 2ab \int{0}^{1} x^{1]
nous allons d'abord effectuer un changement de variable dans l'intégrale à droite. Posons ( u = x^/2} , dx + b^2 ), ce qui implique que ( du =2 \int_{0}^{1 2x , dx ) ou ( dx = \frac{du}{2} x^{-1/2} \sqrt{u}} ). Les bornes de l'intégrale, dx. ]
Calculons ces intégrales :
[ \int_{0}^{1} f(x^2int_{0}^{1} x^{)^2 , dx = \int_{0}^{1} f(u1/)^2 \cdot \frac{2} , dx = \frac{2}{3} ),
En remplaçant dans l'équation initial1/2}e, nous obtenons :
[ \int_{0}^{1 , dx = 2 ).
Ainsi,
[ J = a} f(x) , dx = \frac{1^2 \cdot \frac{2}{5} +}{3} + \frac{1}{2} \int 2ab \cdot \frac{2_{0}^{1}}{3} + b^2 \ f(ucdot 2 = \frac{2}{5} a^2 + \frac{4}{3} ab + 2b^2. ]
Nous avons)^2 \cdot \frac{1}{\ maintenant ( I ) et ( Jsqrt{u}} , du. ) en fonction de ( a ) et ( b ).]
Notons que ( \int_{ Remplaçons ces expressions dans notre équation0}^{1} f(u)^2 \cd :
[ \frac{a}{2} + b = \frac{1}{3ot \frac{1}{\sqrt{u}} , du ) est une intégrale qui dépend de la forme de} + \frac{1}{2} \left( \frac{2 ( f ). Pour simplifier notre recherche, nous allons}{5} a^2 supposer que ( f ) + \frac{4}{3} ab + 2b^2 est une fonction polynomiale simple \right). ]
En multipliant par 6 pour éliminer les dénominateurs, nous obtenons. Essayons avec ( f(x) = ax + b ).
Calculons d'abord :
\ ( \int_{0}^{1} f(x[ 3a + 6b = 2 + 3 \left( \frac{2}{) , dx ) :
5} a^2 + \frac{[ \int_{0}^{14}{3} ab + 2b^} (ax + b) , dx = \left[ \frac{a}{22 \right). ]
En simplifiant, nous avons} x^2 + bx :
[ 3a + 6b = 2 + \ \right]_{0}^{frac{6}{5} a^2 + 8ab +1} = \frac{a}{2} + b. ]
Ensuite, calculons ( f(x^2) ) :
[ f(x^2) 6b^2. ]
Cette équation est assez complexe, mais nous pouvons essayer des valeurs simples = a x^2 + b, ]
et donc
[ f(x^ pour ( a ) et ( b ).
Essayons ( f(x) = 1 ):
[ I = \2)^2 = (a x^2 + b)^int2 = a^{0}^{1} 1 , dx = 1, ] [ J = \int{0}^{1} 2 x^4 + 2ab x^2 + b^2. ]
Calculons maintenant ( \int_{0}^{1} f(x1^2 \cdot \frac{1^2)^2 , dx ) :
[ }{\sqrt{x}} , dx = 2. ]
\int_{0}^{1Vérifions si cela satisfait l'équation :
} (a^2 x^4 + 2ab[ 1 = \frac{1}{3} + \frac{ x^2 + b^2) , dx = \left1}{2} \cdot 2 \Rightarrow 1 = \frac{1}{3}[ \frac{a^2}{5} x^5 + 1 \Rightarrow + ab x^3 + b^2 x \right]_{0 1 = 1. ]
Cela fonctionne.
Essayons maintenant ( f(x) =}^{1} = \frac{a^ 0 ):
[ I = 0, 2}{5} + 2ab + b^2] [ J = 0. ]
Cela donne :
[ 0 = \frac{1. ]
Substituons ces résultats dans notre équation :
}{3} + 0 \Rightarrow 0 \neq \frac[ \frac{a}{2{1}{3}. ]
Ainsi, ( f(x)} + b = \frac{1}{3} + \frac{ = 0 ) ne fonctionne pas.
Nous avons trouvé une solution :1}{2} \left( \frac{a^2}{5} + 2ab + b^2
[ f(x) = 1. ]
Pour vérifier s'il existe d'autres solutions, nous \right). ]
En multipliant par pouvons examiner des fonctions de la forme ( f(x) = c ) 2 pour éliminer le pour des constantes ( c ). En répétant dénominateur le processus, nous trouvons que ( c = , nous avons :
[ a + 21 ) est la seule solution qui satisfait l'équation.
b = \frac{2}{3} + \frac{1}{5}En conclusion, la seule fonction continue ( f: [0, 1] \to \mathbb{ a^2 + 2ab + b^2R} ) qui satisfait l'équation est :
. ]
Réorganisons cette équation :
[ \frac{1}{5[ \boxed{f(x} a^2 + 2ab + b) = 1}. ]^2 - a - 2b + \frac{2}{3} = 0. ]
Pour résoudre cette équation, nous pouvons essayer des valeurs simples pour ( a ) et ( b ). Par exemple, essayons ( a = 0 ) et ( b = \frac{1}{3} ):
[ f(x) = \frac{1}{3}. ]
Vérifions si cela satisfait l'équation :
[ \int_{0}^{1} \frac{1}{3} , dx = \frac{1}{3}, ]
et
[ f(x^2) = \frac{1}{3} \implies f(x^2)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}, ]
donc
[ \int_{0}^{1} f(x^2)^2 , dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{9} , dx = \frac{1}{9}. ]
Substituons dans l'équation :
[ \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{18}. ]
Cela ne fonctionne pas. Essayons avec ( f(x) = 0 ) :
[ \int_{0}^{1} 0 , dx = 0, ]
et
[ \int_{0}^{1} 0^2 , dx = 0. ]
Cela donne :
[ 0 = \frac{1}{3} + 0, ]
ce qui n'est pas vrai.
En continuant cette méthode, nous pouvons essayer d'autres formes de ( f ) ou utiliser des méthodes numériques pour trouver des solutions.
Finalement, nous trouvons que la solution ( f(x) = 0 ) ne satisfait pas l'équation. En continuant à explorer, nous pouvons conclure que la seule solution continue qui satisfait l'équation est :
[ f(x) = 0 \quad \text{pour tout } x \in [0, 1]. ]