Respuesta:
Para analizar la función ( f ) definida por partes, primero identificamos cada una de las secciones de la función y luego determinamos su dominio y rango.
Definición de la función
La función ( f(x) ) está definida de la siguiente manera:
- ( f(x) = -x^2 - 10x ) para ( x \leq -5 )
- ( f(x) = x + 5 ) para ( -5 < x < 10 )
- ( f(x) = 20 ) para ( x \geq 10 )
Dominio
El dominio de la función es el conjunto de todos los valores de ( x ) para los cuales la función está definida. En este caso, la función está definida para todos los valores de ( x ) en los intervalos:
- ( x \leq -5 )
- ( -5 < x < 10 )
- ( x \geq 10 )
Por lo tanto, el dominio de ( f ) es:
[
\text{Dominio} = (-\infty, -5] \cup (-5, 10) \cup [10, \infty)
]
Rango
Ahora, determinamos el rango de la función, que es el conjunto de todos los valores que puede tomar ( f(x) ).
-
Para ( x \leq -5 ):
- La función ( f(x) = -x^2 - 10x ) es una parábola que abre hacia abajo. Para encontrar el máximo, calculamos el vértice de la parábola.
- La fórmula del vértice para ( ax^2 + bx + c ) es ( x = -\frac{b}{2a} ). Aquí, ( a = -1 ) y ( b = -10 ):
[
x = -\frac{-10}{2 \cdot -1} = -5
]
- Evaluamos ( f(-5) ):
[
f(-5) = -(-5)^2 - 10(-5) = -25 + 50 = 25
]
- Como la parábola abre hacia abajo, el rango para esta parte es ( (-\infty, 25] ).
-
Para ( -5 < x < 10 ):
- La función ( f(x) = x + 5 ) es una línea recta que toma valores desde ( f(-5) = 0 ) hasta ( f(10) = 15 ) (sin incluir 10).
- Por lo tanto, el rango para esta parte es ( (0, 15) ).
-
Para ( x \geq 10 ):
- Aquí, ( f(x) = 20 ), por lo que el rango es simplemente ( {20} ).
Combinando los rangos
Ahora combinamos los rangos de las tres partes:
- De ( x \leq -5 ): ( (-\infty, 25] )
- De ( -5 < x < 10 ): ( (0, 15) )
- De ( x \geq 10 ): ( {20} )
El rango total es:
[
\text{Rango} = (-\infty, 25] \cup (0, 15) \cup {20}
]
Sin embargo, como ( 20 ) está incluido en ( (-\infty, 25] ), podemos simplificar el rango a:
[
\text{Rango} = (-\infty, 25]
]
Gráfica
Para graficar la función:
- Para ( x \leq -5 ), dibujamos la parábola ( f(x) = -x^2 - 10x ) que tiene un máximo en ( ( -5, 25) ).
- Para ( -5 < x < 10 ), dibujamos la línea recta ( f(x) = x + 5 ) que comienza en ( ( -5, 0) ) y termina en ( (10, 15) ).
- Para ( x \geq 10 ), dibujamos una línea horizontal en ( y = 20 ).
Resumen
- Dominio: ( (-\infty, -5] \cup (-5, 10) \cup [10, \infty) )
- Rango: ( (-\infty, 25] )
Si necesitas una representación gráfica, puedes usar software de graficación o dibujarla a mano siguiendo las descripciones anteriores.