3.2 Supongamos que unos seres bidimensionales viven inmersos en una superficie curva que esta incrustada en un espacio 3D, estos seres usan coordenadas polares usando geodesicas que parten de un punto fijo a modo de radios, para ello tienen identificada una recta(geodesica) base desde donde miden los angulos y un punto fijo dentro de esa recta desde donde salen lis radios (geodesicas)), ¿cual es la distancia entre el punto (r, θ) y (r+dr,θ+dθ) con dr y dθ muy pequeños?
Para calcular la distancia entre dos puntos en coordenadas polares en un espacio bidimensional, podemos usar el concepto de diferencial en coordenadas polares. Los puntos en coordenadas polares se representan como ((r, \theta)), donde (r) es la distancia desde el origen y (\theta) es el ángulo.
Dado un punto ((r, \theta)) y un punto cercano ((r + dr, \theta + d\theta)), la distancia (ds) entre estos dos puntos se puede aproximar utilizando el teorema de Pitágoras en el contexto de coordenadas polares.
La distancia diferencial (ds) se puede expresar como:
[ ds = \sqrt{(dr)^2 + (r , d\theta)^2} ]
Aquí, (dr) es el cambio en la coordenada radial y (r , d\theta) es el cambio en la coordenada angular, multiplicado por (r) para tener en cuenta la longitud del arco correspondiente al cambio de ángulo (d\theta).
Por lo tanto, la distancia entre los puntos ((r, \theta)) y ((r + dr, \theta + d\theta)) es:
[ ds = \sqrt{(dr)^2 + (r , d\theta)^2} ]
Esta fórmula es válida para (dr) y (d\theta) pequeños, y proporciona una buena aproximación de la distancia en un espacio bidimensional utilizando coordenadas polares.