Resolución de la ecuación trigonométrica

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Pregunta:

Resuelva la ecuación

[ \tan(2x) + \cot(x) = 8 \cos^2(x) ]

Respuesta:

Para resolver la ecuación

[ \tan(2x) + \cot(x) = 8 \cos^2(x), ]

comenzamos utilizando las identidades trigonométricas. Recordemos que:

[ \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}, ] [ \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}, ] y que ( \cos^2(x) = \frac{1}{1 + \tan^2(x)} ).

Definimos ( t = \tan(x) ). Entonces, podemos reescribir la ecuación en términos de ( t ):

[ \tan(2x) = \frac{2t}{1 - t^2}, ] [ \cot(x) = \frac{1}{t}, ] [ \cos^2(x) = \frac{1}{1 + t^2}. ]

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación original, obtenemos:

[ \frac{2t}{1 - t^2} + \frac{1}{t} = 8 \cdot \frac{1}{1 + t^2}. ]

Multiplicamos toda la ecuación por ( t(1 - t^2)(1 + t^2) ) para eliminar los denominadores:

[ 2t^2(1 + t^2) + (1 - t^2)(1 + t^2) = 8t(1 - t^2). ]

Desarrollamos cada término:

  1. ( 2t^2(1 + t^2) = 2t^2 + 2t^4 ),
  2. ( (1 - t^2)(1 + t^2) = 1 - t^4 ),
  3. ( 8t(1 - t^2) = 8t - 8t^3 ).

Sustituyendo estos resultados en la ecuación, tenemos:

[ 2t^2 + 2t^4 + 1 - t^4 = 8t - 8t^3. ]

Simplificamos:

[ t^4 + 2t^2 + 1 = 8t - 8t^3. ]

Reorganizamos todos los términos a un lado de la ecuación:

[ t^4 + 8t^3 + 2t^2 - 8t + 1 = 0. ]

Ahora, tenemos un polinomio de cuarto grado en ( t ). Para resolverlo, podemos intentar encontrar raíces racionales o usar métodos numéricos o gráficos.

Probamos algunos valores para ( t ):

  1. ( t = 1 ): [ 1^4 + 8(1)^3 + 2(1)^2 - 8(1) + 1 = 1 + 8 + 2 - 8 + 1 = 4 \quad (\text{no es raíz}). ]

  2. ( t = -1 ): [ (-1)^4 + 8(-1)^3 + 2(-1)^2 - 8(-1) + 1 = 1 - 8 + 2 + 8 + 1 = 4 \quad (\text{no es raíz}). ]

  3. ( t = 2 ): [ 2^4 + 8(2)^3 + 2(2)^2 - 8(2) + 1 = 16 + 64 + 8 - 16 + 1 = 73 \quad (\text{no es raíz}). ]

  4. ( t = 0 ): [ 0^4 + 8(0)^3 + 2(0)^2 - 8(0) + 1 = 1 \quad (\text{no es raíz}). ]

  5. ( t = -2 ): [ (-2)^4 + 8(-2)^3 + 2(-2)^2 - 8(-2) + 1 = 16 - 64 + 8 + 16 + 1 = -23 \quad (\text{no es raíz}). ]

Dado que no hemos encontrado raíces racionales fácilmente, podemos usar un método numérico o gráfico para encontrar las raíces de ( t^4 + 8t^3 + 2t^2 - 8t + 1 = 0 ).

Una vez que encontramos las raíces ( t_1, t_2, t_3, t_4 ), podemos encontrar ( x ) usando ( x = \tan^{-1}(t) ).

Finalmente, la solución de la ecuación original se puede expresar en términos de ( x ) como:

[ x = \tan^{-1}(t) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Esto nos da todas las soluciones de la ecuación original.