Para resolver este problema, primero debemos entender cómo se comportan los materiales al calentarse. Tanto la regla de acero como el tubo se expanden al aumentar la temperatura, y podemos usar la fórmula de expansión térmica lineal:
[
\Delta L = L_0 \cdot \alpha \cdot \Delta T
]
donde:
- (\Delta L) es el cambio en longitud,
- (L_0) es la longitud inicial,
- (\alpha) es el coeficiente de expansión térmica lineal,
- (\Delta T) es el cambio de temperatura.
Paso 1: Calcular el cambio de temperatura
La temperatura inicial es (T_1 = 25°C) y la temperatura final es (T_2 = 425°C). Por lo tanto, el cambio de temperatura es:
[
\Delta T = T_2 - T_1 = 425°C - 25°C = 400°C
]
Paso 2: Calcular la expansión de la regla de acero
La longitud inicial de la regla es (L_{0, \text{regla}} = 80.0 , \text{cm}) y su coeficiente de expansión térmica es (\alpha_{\text{regla}} = 15 \times 10^{-6} , °C^{-1}).
Usamos la fórmula de expansión para la regla:
[
\Delta L_{\text{regla}} = L_{0, \text{regla}} \cdot \alpha_{\text{regla}} \cdot \Delta T
]
Sustituyendo los valores:
[
\Delta L_{\text{regla}} = 80.0 , \text{cm} \cdot (15 \times 10^{-6} , °C^{-1}) \cdot (400 , °C)
]
Calculamos:
[
\Delta L_{\text{regla}} = 80.0 \cdot 15 \cdot 10^{-6} \cdot 400
]
[
\Delta L_{\text{regla}} = 80.0 \cdot 15 \cdot 0.0004
]
[
\Delta L_{\text{regla}} = 80.0 \cdot 0.006 = 0.48 , \text{cm}
]
La nueva longitud de la regla después de calentarse es:
[
L_{\text{regla, final}} = L_{0, \text{regla}} + \Delta L_{\text{regla}} = 80.0 , \text{cm} + 0.48 , \text{cm} = 80.48 , \text{cm}
]
Paso 3: Calcular la expansión del tubo
La nueva longitud del tubo después de calentarse es (L_{\text{tubo, final}} = 80.3 , \text{cm}). El cambio en longitud del tubo es:
[
\Delta L_{\text{tubo}} = L_{\text{tubo, final}} - L_{0, \text{tubo}} = 80.3 , \text{cm} - 80.0 , \text{cm} = 0.3 , \text{cm}
]
Paso 4: Calcular el coeficiente de expansión térmica del tubo
Ahora podemos usar la fórmula de expansión térmica para el tubo. Sabemos que la longitud inicial del tubo es (L_{0, \text{tubo}} = 80.0 , \text{cm}) y el cambio en longitud es (\Delta L_{\text{tubo}} = 0.3 , \text{cm}):
[
\Delta L_{\text{tubo}} = L_{0, \text{tubo}} \cdot \alpha_{\text{tubo}} \cdot \Delta T
]
Sustituyendo los valores:
[
0.3 , \text{cm} = 80.0 , \text{cm} \cdot \alpha_{\text{tubo}} \cdot 400 , °C
]
Despejamos (\alpha_{\text{tubo}}):
[
\alpha_{\text{tubo}} = \frac{0.3 , \text{cm}}{80.0 , \text{cm} \cdot 400 , °C}
]
Calculamos:
[
\alpha_{\text{tubo}} = \frac{0.3}{32000} = 9.375 \times 10^{-6} , °C^{-1}
]
Resultado
El coeficiente de expansión térmica lineal del tubo es:
[
\alpha_{\text{tubo}} \approx 9.38 \times 10^{-6} , °C^{-1}
]