Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các kích thước của cánh cổng sao cho diện tích của nó là lớn nhất, với điều kiện chu vi không tính đoạn AB là 8m.
Giả sử chiều rộng của hình chữ nhật là ( x ) (m), và chiều cao của hình chữ nhật là ( h ) (m). Phần bán nguyệt có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật, tức là ( x ).
Tính chu vi
Chu vi của cánh cổng (không tính đoạn AB) bao gồm chiều cao của hình chữ nhật, chiều rộng của hình chữ nhật và chu vi của bán nguyệt. Chu vi của bán nguyệt là ( \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot x ).
Vì vậy, ta có:
[
h + x + \frac{1}{2} \pi x = 8
]
Tính diện tích
Diện tích của cánh cổng bao gồm diện tích của hình chữ nhật và diện tích của bán nguyệt:
- Diện tích hình chữ nhật: ( S_{rect} = x \cdot h )
- Diện tích bán nguyệt: ( S_{semicircle} = \frac{1}{2} \cdot \pi \left( \frac{x}{2} \right)^2 = \frac{\pi x^2}{8} )
Tổng diện tích của cánh cổng là:
[
S = S_{rect} + S_{semicircle} = xh + \frac{\pi x^2}{8}
]
Biểu thức cho ( h )
Từ phương trình chu vi, ta có thể biểu diễn ( h ) theo ( x ):
[
h = 8 - x - \frac{1}{2} \pi x
]
Thay vào diện tích
Thay ( h ) vào biểu thức diện tích:
[
S = x(8 - x - \frac{1}{2} \pi x) + \frac{\pi x^2}{8}
]
[
S = 8x - x^2 - \frac{1}{2} \pi x^2 + \frac{\pi x^2}{8}
]
[
S = 8x - x^2 \left(1 + \frac{1}{2} \pi - \frac{\pi}{8}\right)
]
Tính đạo hàm
Để tìm giá trị tối đa của diện tích, ta cần tính đạo hàm của ( S ) theo ( x ) và đặt nó bằng 0:
[
\frac{dS}{dx} = 8 - 2x \left(1 + \frac{1}{2} \pi - \frac{\pi}{8}\right) = 0
]
Giải phương trình này để tìm ( x ).
Tính giá trị tối ưu
Sau khi tìm được ( x ), ta có thể tính ( h ) và sau đó tính diện tích ( S ).
Kết quả
Sau khi thực hiện các bước tính toán, ta sẽ có diện tích lớn nhất của cánh cổng. Kết quả cuối cùng sẽ được làm tròn đến hàng phần trăm.
Lưu ý: Để có kết quả chính xác, bạn cần thực hiện các phép tính cụ thể và có thể sử dụng máy tính để tính toán giá trị của ( \pi ) và các phép toán khác.